Intégration (5/5)

⇧ 1 2 3 4 ⑤

Le contexte de cette partie

Dans cette partie, on considère des fonctions

{f\colon I\times J\to\mathbb{K}}

définies sur le produit cartésien de deux intervalles

{I}

{J}

, et à valeurs dans

{\mathbb{K}}

. On note

{x}

la variable qui parcourt

{I}

, et

{t}

celle qui parcourt

{J}

: ainsi

{f(x,t)}

désigne l'image d'un élément quelconque de

{I\times J}

.
L'objectif est d'étudier sur

{I}

la fonction

{g\colon x\mapsto \displaystyle\int_{J}f(x,t)\,\text{d}t}

, dite "intégrale à paramètre".
Ainsi

{J}

est l'intervalle d'intégration (par rapport à

{t}

), et

{I}

est l'intervalle du paramètre

{x}

Continuité des intégrales à paramètre

P. Le théorème de continuité

Soit

{I}

{J}

deux intervalles de

{\mathbb{R}}

, d'intérieur non vide.
Soit

{f\colon(x,t)\mapsto f(x,t)}

une fonction définie sur

{I\times J}

, à valeurs dans

{\mathbb{K}}

.
On fait les trois hypothèses suivantes :

pour tout ${x}$ de ${I}$ , la fonction ${t\mapsto f(x,t)}$ est continue par morceaux sur ${J}$
hypothèse de domination :
il existe ${\varphi\in\mathcal{L}^{1}(J,\mathbb{R}^{+})}$ telle que : ${\forall\, x\in I,\;\forall\, t\in J\;\left|f(x,t)\right|\le\varphi(t)}$
pour tout ${t}$ de ${J}$ , la fonction ${x\mapsto f(x,t)}$ est continue sur ${I}$

Alors ${g\colon x\mapsto \displaystyle\int_{J}f(x,t)\,\text{d}t}$ est définie et continue sur ${I}$ .
On vérifiera toutes les conditions, mais l'hypothèse de domination est la plus importante.

R. Cas de la domination sur tout segment

Le résultat (continuité de

{g}

sur

{I}

) reste valable si on remplace l'hypothèse de domination par :
«pour tout segment

{K\subset I}

, il existe

{\varphi_{K}\in\mathcal{L}^{1}(J,\mathbb{R}^{+})}

telle que:

{\forall\, x\in K,\;\left|f(x,t)\right|\le\varphi_{K}(t)}

»
Bien sûr, dans ce nouvel énoncé,

{\varphi_{K}}

dépend du segment

{K}

{I}

sur lequel on se place.
La possibilité de ce nouvel énoncé provient du "caractère local" de la continuité.

R. Cas où l'intervalle est un segment

Le théorème de continuité admet une version simple quand

{J}

est un segment.
Soit

{f\colon I\times [a,b]\to \mathbb{K}}

, continue. Alors

{x\mapsto\displaystyle\int_{a}^{b}f(x,t)\,\text{d}t}

est continue sur

{I}

E. Exercices conseillés

Dérivation des intégrales à paramètre

Ce contenu nécessite une souscription active

Transformées de Fourier et Laplace

Ce contenu nécessite une souscription active

⇧ 1 2 3 4 ⑤