Intégration (1/5)

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Fonctions continues par morceaux

D. Subdivisions d'un segment

Soit

{[a,b]}

un segment de

{\mathbb{R}}

, avec

{a\lt b}

.
On appelle subdivision de

{[a,b]}

toute suite finie

{\sigma=(x_{k})_{0\le k\le n}}

, avec :

{x_0=a\lt x_1\lt \ldots\lt x_{n-1}\lt x_n=b}

L'ensemble

{\{x_k,\;k\in\llbracket0,n\rrbracket\}}

est le support de

{\sigma}

.
Le réel

{h=\max\limits_{0\le k\lt n}(x_{k+1}-x_k)}

est le pas de

{\sigma}

D. Fonction cpm sur un segment

Soit

{f}

une fonction définie sur le segment

{[a,b]}

, à valeurs dans

{\mathbb{K}}

.
On dit que

{f}

est continue par morceaux sur

{[a,b]}

s'il existe une subdivision

{\sigma=(x_k)_{0\,\le\,k\,\le\,n}}

{[a,b]}

(dite adaptée à

{f}

) telle que, pour tout

{k\in\llbracket0,n\rrbracket}

la restriction de ${f}$ à chaque intervalle ouvert ${]x_k,x_{k+1}[}$ est continue.
cette restriction est prolongeable par continuité aux points ${x_k}$ et ${x_{k+1}}$ .

On note ${\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})}$ l'ensemble des fonctions continues par morceaux de ${[a,b]}$ dans ${\mathbb{K}}$ .

R. Deux remarques

Dire que ${f}$ est dans ${\mathcal{C}_m([a,b],\mathbb{K})}$ , c'est dire qu'elle n'a qu'un nombre fini de discontinuités, et qu'en chacune d'elles, il y a une limite à gauche et une limite à droite finies.
Toute fonction continue par morceaux sur ${[a,b]}$ est bornée sur ${[a,b]}$ .

D. Fonction cpm sur un intervalle I

Soit

{I}

un intervalle de

{\mathbb{R}}

d'intérieur non vide. Soit

{f}

une fonction de

{I}

dans

{\mathbb{K}}

.
On dit que

{f}

est continue par morceaux sur

{I}

si elle l'est sur tout segment de

{I}

.
On note

{\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})}

l'ensemble des fonctions continues par morceaux sur

{I}

et à valeurs dans

{\mathbb{K}}

P. Opérations sur les fonctions cpm

${\mathcal{C}_m(I,\mathbb{K})}$ est stable par combinaisons linéaires, et pour le prodit.
Soit ${f :I\to\mathbb{C}}$ . Posons ${u=\text{Re}(f)}$ et ${v=\text{Im}(f)}$ .
Alors ${f}$ est dans ${\mathcal{C}_m(I,\mathbb{C})}$ si et seulement si ${u,v}$ sont dans ${\mathcal{C}_m(I,\mathbb{R})}$ .
Si ${f\in\mathcal{C}_m(I,\mathbb{C})}$ alors ${|f|\in\mathcal{C}_m(I,\mathbb{R}^+)}$
Soit ${f:I\in\mathbb{R}}$ .
On note ${\begin{cases}f^{+}=\max(f,0)=\frac12(f+\left|f\right|)\\f^{-}=\max(-f,0)=\frac12(\left|f\right|-f)\end{cases}}$
${f^{+}\;\text{et}\;f^{-}}$ sont positives et ${\begin{cases}f=f^{+}-f^{-}\\[3pt]\left|f\right|=f^{+}+f^{-}\end{cases}}$

Si ${f\colon I\to\mathbb{R}}$ est continue par morceaux, il en est de même des fonctions ${f^{+}}$ et ${f^{-}}$ .

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