(Oral X Mp/Mpi)
Une fonction {f:\mathbb R\to\mathbb R} est dite semi-continue inférieurement (s.c.i.) si, pour tout {\alpha\in\mathbb R}, l’ensemble {f^{-1}(]-\infty,\alpha])} est fermé dans {\mathbb R}.
Question a)
Montrer que toute fonction continue est s.c.i.
Montrer que toute fonction continue est s.c.i.
Question b)
Donner un exemple de fonction s.c.i. mais non continue.
Donner un exemple de fonction s.c.i. mais non continue.
Question c)
Montrer que {f} est s.c.i. si et seulement si, pour tout {x\in\mathbb R} et tout {\varepsilon>0}, il existe un voisinage {V} de {x} tel que {f(y)>f(x)-\varepsilon} pour tout {y\in V}.
Montrer que {f} est s.c.i. si et seulement si, pour tout {x\in\mathbb R} et tout {\varepsilon>0}, il existe un voisinage {V} de {x} tel que {f(y)>f(x)-\varepsilon} pour tout {y\in V}.