Cosinus rationnel de 2nπr
Pour quels rationnels {r} le nombre {\cos(\pi r)} est-il rationnel ? Étudier la suite {a_n=2\cos(2^n\pi r)} et ses dénominateurs pour déterminer toutes les possibilités.
X Mp/Mpi
Médiane de moyennes
Borne exponentielle pour une médiane de moyennes indépendantes à variance finie.
Divisibilité des lois entières
Dire quand une loi entière est la somme de variables indépendantes de même loi.
Suite aléatoire sous-additive
Une suite positive définie par une fonction sous-additive de variables indépendantes.
Permutations à au moins 3 cycles
Probabilité d’obtenir au moins trois cycles pour une permutation aléatoire.
Probabilité d’extinction d’une population
Calculer la probabilité d’extinction d’un processus de branchement à quatre issues.
Décroissance d’une grande déviation
Majoration exponentielle d’une proba de grande déviation pour une somme de v.a.r.
Nombres de Bell et formule de Dobinski
Démontrer la formule de Dobinski.
Parties aléatoires de [1,d]
Probabilités d’inclusion données par des déterminants principaux.
Itération d’une application aléatoire
Itérer une application aléatoire telle que {f(k)\!\leq\! k}
Segments croisés d’une permutation
Relier les croisements de segments aux inversions d’une permutation.
Marche aléatoire simple non bornée
Si une marche avance ou recule d’une unité à chaque étape, elle n’est pas bornée.
Sous-suite d’une permutation aléatoire
Estimer la probabilité qu’une permutation contienne une longue sous-suite croissante.
Compositions et partitions d’un entier
Compositions d’un entier et récurrence sur le nombre de ses partitions.
Inégalité de Cantelli et temps d’attente
Affiner l’inégalité de Bienaymé–Tchebychev pour une seule queue de distribution.
Aire d’un carré entier aléatoire
Loi de l’aire d’un carré aléatoire à sommets entiers dans une grille.
Rectangles à sommets entiers
Compter les rectangles à sommets entiers dans un triangle.
Points rationnels sur un cercle
Combien de points à coordonnées rationnelles un cercle peut-il posséder ?
Système différentiel périodique
Construire la matrice de transition d’un système périodique de trace nulle.
Énergie et solutions d’EQD bornées
zéros de solutions d’EQD
Comparer les zéros de solutions de {y''+qy=0}.
Équation différentielle d’ordre 2
Équation matricielle analytique
Résoudre {V(qz)=A(z)V(z)} près de 0 par un changement de matrice et une équation scalaire.
Solution d’équation aux dilatations
Paramétrisation de matrices de rotation
Série entière à coeffs logarithmiques
Étudier {\sum\ln(n)x^n} aux bornes de son intervalle de convergence.
Inversion de Möbius et produit infini
Inverser une matrice associée à la divisibilité, et utiliser Möbius pour un produit infini.
CVU d’une série de sinus
Noyau de Fejér
Simplifier le noyau de Fejér et étudier sa concentration près des entiers.
CVU locale de fonctions convexes
Si {(f_n)} est CVS, montrer la CVU sur les segments.
Intégrale logarithmique sur le cercle
Limite d’un quotient après dilatation
f > 0, intégrable, comportement en ∞
Unicité par positivité d’un noyau intégral
Fonctions positives échangées par un opérateur intégral à noyau {>0}.
Équation intégrale, série de Neumann
Étudier l’existence et l’unicité d’une solution continue d’une équation intégrale.
Estimation intégrale höldérienne
Une estimation contre les dérivées de fonctions tests donne une borne de {|f(x)\!-\!f(y)|}.
Majoration de |P(0)| par une intégrale
Équation de Wronskien et prolongement
Résoudre localement une équation de Wronskien, puis étudier son prolongement aux racines.
Inégalités entre dérivées successives
Décroissance sous contrainte
Si {f} positive décroissante vérifie une borne stricte sur {ff''/(f')^2}, montrer que {xf(x)\to0}.
Convexité à un terme quadratique près
Fonctions continues telles que fn=Id
Fonction presque multiplicative
Étude d’une fonction positive multiplicative à des facteurs constants près.
Fonctions à variation bornée
Fonctions à variation bornée et décomposition en différence de fonctions croissantes.
Fonction à maxima locaux prescrits
Construire {f\in C^\infty([0,1])} dont les maxima locaux forment une suite croissante fixée de limite 1.
Majorer les dérivées intermédiaires
Connaissant des majorations de {\|f\|_\infty} et {\|f^{(r)}\|_\infty}, majorer les {\|f^{(k)}\|_\infty} pour {1\le k\le r}.
Équations fonctionnelles
Sachant {f(x\!+\!1)\equiv f(x)\!+\!2}, construire {h} continue tq {h\!\circ\! f=2h} et {h(x\!+\!1)\equiv h(x)\!+\!1}
Équation fonctionnelle multiplicative
Résoudre l’équation continue {f(x\!+\!y)f(x\!-\!y)=f(x)^2f(y)^2}.