(Oral X Mp/Mpi)
Question a)
Pour {n,r\geqslant1}, compter les écritures de {n} comme somme ordonnée de {r} entiers naturels, puis de {r} entiers strictement positifs. Combien existe-t-il d’écritures ordonnées en entiers strictement positifs lorsque le nombre de termes est libre ?
Pour {n,r\geqslant1}, compter les écritures de {n} comme somme ordonnée de {r} entiers naturels, puis de {r} entiers strictement positifs. Combien existe-t-il d’écritures ordonnées en entiers strictement positifs lorsque le nombre de termes est libre ?
Question b)
Soit {p(n)} le nombre d’écritures de {n} comme somme décroissante au sens large d’entiers strictement positifs. On pose {p(0)=1} et {p(n)=0} pour {n\lt 0}. Montrer {np(n)=\sum_{k,l\geqslant1}l\,p(n-kl)}.
Soit {p(n)} le nombre d’écritures de {n} comme somme décroissante au sens large d’entiers strictement positifs. On pose {p(0)=1} et {p(n)=0} pour {n\lt 0}. Montrer {np(n)=\sum_{k,l\geqslant1}l\,p(n-kl)}.