Cosinus rationnel de 2nπr
Pour quels rationnels {r} le nombre {\cos(\pi r)} est-il rationnel ? Étudier la suite {a_n=2\cos(2^n\pi r)} et ses dénominateurs pour déterminer toutes les possibilités.
X Mp/Mpi Algèbre générale
Itération d’une application aléatoire
Itérer une application aléatoire telle que {f(k)\!\leq\! k}
Segments croisés d’une permutation
Relier les croisements de segments aux inversions d’une permutation.
Compositions et partitions d’un entier
Compositions d’un entier et récurrence sur le nombre de ses partitions.
Aire d’un carré entier aléatoire
Loi de l’aire d’un carré aléatoire à sommets entiers dans une grille.
Rectangles à sommets entiers
Compter les rectangles à sommets entiers dans un triangle.
Points rationnels sur un cercle
Combien de points à coordonnées rationnelles un cercle peut-il posséder ?
Inversion de Möbius et produit infini
Inverser une matrice associée à la divisibilité, et utiliser Möbius pour un produit infini.
CV d’une série d’inverses de PPCM
Étudier la série des inverses des PPCM successifs d’une suite strictement croissante de {\mathbb{N}^\star}.
Croissance des chemins simples
Croissance du nombre de chemins simples du réseau {\mathbb{Z}^2}.
Polynôme cubique et valeurs carrées
Spectre dans une algèbre normée
Étudier le spectre dans une algèbre normée et sa compacité.
Inversion de Möbius
Établir et appliquer l’inversion de Möbius pour les sommes sur les diviseurs.
Corps ℚ(ω), où w5=1 et w≠1
Étudier le corps engendré {\mathbb{Q}(\omega)} par une racine cinquième primitive de l’unité.
Racines de l’unité dans Q[i]
Déterminer les racines de l’unité dans {\mathbb Q[i]}.
Indépendance des caractères
Montrer que des caractères distincts d’un groupe sont linéairement indépendants.
Sous-groupe d’ordre pa
Sous-groupes finis de (K*,x)
Étude des sous-groupes finis du groupe multiplicatif d’un corps.
Sous-groupe d’indice deux et signature
Représentations par somme de carrés
Carrés modulo le carré de p premier
Sous-gpes d’un produit semi-direct fini
Construire un groupe à partir de translations cycliques et de fonctions à valeurs dans {\mathbb F_2}
Classification des groupes d’ordre huit
Classer les groupes d’ordre {8}. Distinguer le cas abélien du cas diédral et quaternionique
Applications linéaires dans un groupe
Classification des groupes d’ordre dix
Utiliser les symétries d’un pentagone régulier pour classer les groupes d’ordre {10}.
Permutations qui sont des carrés
Quelles permutations s’écrivent comme le carré d’une autre permutation ?
Loi de réciprocité quadratique
Du critère d’Euler à la réciprocité quadratique.
Diviseurs premiers des entiers Fk
Étudier les diviseurs premiers des nombres de Fermat {F_k=1+2^{2^k}}.
Racines de l’unité modulo 2α
Nombre de carrés modulo pα
Combien de classes sont des carrés modulo {p^\alpha} ?
Automorphismes du groupe symétrique
Maximum d’une somme de voisins
Ordonner les entiers de {[1,n]} pour maximiser la somme des produits de voisins.
Parties sans somme dans un groupe
Parties « sans somme » dans un groupe abélien.
Équation diophantienne xp+yp+zp=0
Étudier une relation {x^p+y^p+z^p=0} par factorisation et divisibilité.
Divisibilité d’une somme binomiale
Le plus grand absent de aℕ+bℕ
Le plus grand entier absent de {a\mathbb N+b\mathbb N}.
Points rationnels sur un cercle
Un cercle {x^2+y^2=n} possède-t-il des points à coordonnées rationnelles non nulles ?
Un quotient entier de factorielles
Montrer que {(2m)!(2n)!/((m\!+\!n)!\,m!\,n!)} est toujours entier.
Développement décimal d’un rationnel
Quelle peut-être la période décimale de {n/27}? Généraliser.
Valeurs entières de (n³+5)/(n²+7)
Une équation diophantienne
Résoudre {1/a+1/b=n/(a+b)} en entiers strictement positifs.
Longueur maximale d’une antichaîne
Taille maximale d’une famille de parties dont aucune n’en contient une autre.
Morphismes de (ℚ,+) dans (ℚ*,x)
Déterminer les morphismes {(\mathbb{Q},+)\to (\mathbb{Q}^{\star},\times)}
Racine carrée d’une translation de ℤ
Existe-t-il {f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}} telle que, pour tout {n\in\mathbb{Z}}, {(f\circ f)(n)=n+a} ?