Récurrence binomiale
Résoudre exactement une récurrence donnée par une somme binomiale.
X Mp/Mpi
CV d’une série d’inverses de PPCM
Étudier la série des inverses des PPCM successifs d’une suite strictement croissante de {\mathbb{N}^\star}.
Série et permutation des entiers
La série {\sum\limits_{n\geqslant1}\sigma(n)/n^2} peut-elle converger pour une permutation {\sigma} des entiers positifs ?
Calcul d’une somme alternée
On calcule la somme {\sum\limits_{k\geqslant1}(-1)^k\ln(k)/k}.
Croissance des chemins simples
Croissance du nombre de chemins simples du réseau {\mathbb{Z}^2}.
Densité nulle et CV en moyenne
Étudier les suites positives bornées dont la moyenne tend vers zéro.
Équivalent et convergence quadratique
Étudier une récurrence polynomiale présentant un seuil entre convergence et divergence.
Itération moyennée lipschitzienne
Racine et somme harmonique
Polynôme cubique et valeurs carrées
Précompacité et recouvrements
Parties précompactes d’un evn. Cas d’une famille de fonctions lipschitziennes.
Spectre dans une algèbre normée
Étudier le spectre dans une algèbre normée et sa compacité.
Zéro commun aux fns d’un idéal propre
Pourquoi les fonctions d’un idéal propre de {C([0,1],\mathbb R)} ont-elles un zéro commun ?
Prolongement d’une forme linéaire
Prolonger une forme linéaire dominée par une norme sans perdre cette domination.
La semi-continuité inférieure
Caractériser la semi-continuité inférieure à partir des ensembles de sous-niveau.
Maximisation du dét sous contraintes
Maximiser le déterminant de {M\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} soumise à des contraintes quadratiques.
(Matrice pos++) * (Matrice antisym.)
Soit {A\in\mathcal S_n^{++}(\mathbb R)} et {B\in\mathcal A_n(\mathbb R)}. Est-ce que {AB} est diagonalisable?
Invariance par conjugaison orthogonale
Donner les formes linéaires sur {\mathcal M_{2n+1}(\mathbb R)} invariantes par conjugaison orthogonale.
Quadrature et polynômes de Legendre
Construire une formule de quadrature à poids positifs, exacte jusqu’au degré {2n\!-\!1}.
Majorations intégrales de |P(0)|
Inégalité de Hadamard
Borner le carré d’un déterminant par le produit des normes carrées de ses colonnes.
Puissances de produit de projections
Que deviennent les puissances du produit de deux projections orthogonales ?
Isométries d’un simplexe régulier
Construire un simplexe régulier centré et étudier les permutations de ses sommets.
Symétries linéaires d’une ellipse
Étudier les conditions sur une partie du plan. Montrer que c’est une ellipse centrée en O.
Groupe matriciel d’exposant borné
Un sous-groupe matriciel complexe dont tous les éléments vérifient {g^m=I} est-il fini ?
Matrices vérifiant AB égale BA2
Étudier la relation {AB=BA^2} et l’existence de vecteurs propres communs.
Quasi-retours dans les un(x)
Approximations rationnelles et quasi retour dans les orbites d’un endomorphisme.
Itération de Newton dans K[u]
Construire une itération de Newton dans l’algèbre engendrée par un endomorphisme.
Puissances de M si |ϱ(M)| < 1
Déterminant et matrice conjuguée
Pourquoi {\det(I+A\overline A)} est-il positif ou nul ?
Matrices congrues à In modulo p≥3
Bicommutant de A diagonalisable
Classe de similitude = singleton ?
Quelles matrices sont semblables uniquement à elles-mêmes ?
Stabilisateurs de tous les hyperplans
Quels endomorphismes stabilisent les hyperplans d’un espace réel de dimension finie ?
Forme de Hessenberg supérieure
Réduction à une matrice nulle sous sa première sous-diagonale.
Racines matricielles d’un quart de tour
Étudier les racines matricielles d’un quart de tour
Matrices pouvant être des comatrices
Quelles matrices sont des comatrices ?
Matrices égales à leur comatrice
Intersections de cardinal constant
Étudier la taille d’une famille de parties distinctes aux intersections 2 à 2 de même cardinal non nul
Inversion après perturbation de rang 1
Déterminant et pinceau de matrices
Étudier les contraintes imposées par {\det(A+tB)=\det A+t\det B}.
Inversibilité d’une matrice de signes
Inversibilité d’une matrice de taille paire à coeficients {\pm1} mais à diagonale nulle.
Stabilisateurs des sev de dim 5
Interprétation d’une matrice
Interpréter géométriquement {M=\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.
Automorphismes du corps ℂ(X)
Décrire les endomorphismes du corps {\mathbb C(X)} par substitution d’une fraction rationnelle.
Convergence d’une suite de polynômes
Convergence d’une suite de polynômes définie par récurrence.
Inversion de Möbius
Établir et appliquer l’inversion de Möbius pour les sommes sur les diviseurs.
Premiers polynômes cyclotomiques
Montrer que les polynômes cyclotomiques sont dans {\mathbb{Z}[X]}. Calculer les huit premiers.
Racine commune et irréductibilité
Si {P,Q\in\mathbb{K}[X]} ont une racine commune, et si {P} est irréductible, alors {P} divise {Q}.
Corps ℚ(ω), où w5=1 et w≠1
Étudier le corps engendré {\mathbb{Q}(\omega)} par une racine cinquième primitive de l’unité.