(Oral X Mp/Mpi)
Soient {k\geqslant2} un entier et {(u_n)\in(\mathbb R^+)^{\mathbb N}} telle que, pour tout {n\in\mathbb N} : {\frac{u_{n+1}}{k!}=\sum_{j=1}^k\frac{u_n^j}{j!(k-j)!}.}
Question a)
Montrer qu’il existe {r\in\mathbb R^+} tel que {u_n\to0} si et seulement si {u_0\leqslant r}.
Montrer qu’il existe {r\in\mathbb R^+} tel que {u_n\to0} si et seulement si {u_0\leqslant r}.
Question b)
Pour {u_0\lt r}, quelle est la nature de {\sum u_n} ?
Pour {u_0\lt r}, quelle est la nature de {\sum u_n} ?
Question c)
Pour {u_0\lt r}, donner un équivalent de {u_n}.
Pour {u_0\lt r}, donner un équivalent de {u_n}.