(Oral X Mp/Mpi)
Une fonction {f:[0,1]\to\mathbb R} est à variation bornée s’il existe {M>0} tel que, pour toute subdivision {0\leqslant a_0\lt a_1\lt \cdots\lt a_n\leqslant1}, on ait {\sum_{k=1}^n|f(a_k)-f(a_{k-1})|\leqslant M}.[/latex].
Question a)
Montrer que toute fonction monotone est à variation bornée.
Montrer que toute fonction monotone est à variation bornée.
Question b)
Montrer que toute fonction de classe {C^1} est à variation bornée.
Montrer que toute fonction de classe {C^1} est à variation bornée.
Question c)
Exhiber une fonction continue qui n’est pas à variation bornée.
Exhiber une fonction continue qui n’est pas à variation bornée.
Question d)
Montrer que {f} est à variation bornée si et seulement si elle est différence de deux fonctions croissantes.
Montrer que {f} est à variation bornée si et seulement si elle est différence de deux fonctions croissantes.
Question e)
Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, il existe une fonction en escalier {h:[0,1]\to\mathbb R} telle que {\|f-h\|_\infty\leqslant\varepsilon}.
Montrer que, pour tout {\varepsilon>0}, il existe une fonction en escalier {h:[0,1]\to\mathbb R} telle que {\|f-h\|_\infty\leqslant\varepsilon}.