Calculs asymptotiques (2/5)

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Comparaison des fonctions

R. Contexte

Dans cette partie, on considère un intervalle

{I}

{\mathbb{R}}

, d'intérieur non vide.
On désigne par

{a}

un élément ou une extrémité de

{I}

(

{a}

est dans

{\overline{\mathbb{R}}}

On se limite ici à des fonctions définies sur ${I\setminus\{a\}}$ et à valeurs réelles ou complexes (à valeurs réelles dans la plupart des cas), et qui ne s'annulent pas au voisinage de ${a}$ (elles peuvent être définies et nulles au point ${a}$ lui-même, mais ça n'intervient pas dans les définitions).

Les comparaisons de fonctions ont lieu au voisinage du point ${a}$ , avec ${a}$ dans ${\mathbb{R}}$ , ou ${a=+\infty}$ ou ${a=-\infty}$ (alors que pour les suites, les comparaisons ont lieu uniquement quand ${n}$ tend vers ${+\infty}$ ).

Les définitions suivantes constituent des comparaisons locales de fonctions quand ${x}$ tend vers ${a}$ (on dit aussi, de façon plus informelle mais moins précise, que les comparaisons sont effectuées "en ${a}$ ").

Les définitions et les propriétés qui en découlent sont très proches de celles vues pour les comparaisons des suites numériques. On se contente donc d'une simple adaptation de ce qui a été dit précédemment.

D. Fonction dominée par une autre

Soient

{f}

{g}

deux fonctions de

{I\setminus\{a\}}

, à valeurs dans

{\mathbb{R}}

(ou

{\mathbb{C}}

).
On dit que

{f}

est dominée par

{g}

quand

{x}

tend vers

{a}

(ou en

{a}

) si

{\dfrac{f}{g}}

est bornée au voisinage de

{a}

.
On note alors

{f=\text{O}(g)}

et parfois

{f=\text{O}_a(g)}

Définition équivalente : il existe ${M\ge0}$ tel que ${|f(x)|\le M|g(x)|}$ au voisinage de ${a}$ .

D. Fonction négligeable devant une autre

Soient

{f}

{g}

deux fonctions de

{I\setminus\{a\}}

à valeurs dans

{\mathbb{R}}

(ou

{\mathbb{C}}

).
On dit que

{f}

est négligeable devant

{g}

quand

{x}

tend vers

{a}

(ou en

{a}

) si

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=0}

.
On note alors

{f=\text{o}(g)}

, ou éventuellement

{f=\text{o}_a(g)}

Définition équivalente : pour tout ${\varepsilon >0}$ (sous-entendu « ausi petit soit-il ») il existe un voisinage de ${a}$ (dépendant bien sûr de ${\varepsilon}$ ) sur lequel on a l'inégalité ${|f(x)|\le\varepsilon|g(x)|}$ .

D. Fonction équivalente à une autre

Soient

{f}

{g}

deux fonctions de

{I\setminus\{a\}}

à valeurs dans

{\mathbb{R}}

(ou

{\mathbb{C}}

).
On dit que

{f}

est équivalente à

{g}

au voisinage de

{a}

(ou en

{a}

) si

{\displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=1}

.
On note alors

{f\sim g}

, ou éventuellement

{f\stackrel{a}{\sim}g}

Définition équivalente : dire que ${f\stackrel{a}{\sim}g}$ , c'est dire que ${f-g}$ est négligeable devant ${g}$ en ${a}$ .

R. Propriétés des comparaisons

Dans les résultats suivants, on désigne par

{f,g,h}

des fonctions numériques définies sur

{I\setminus\{a\}}

et qui ne s'annulent pas au voisinage de

{a}

. Les relations de comparaison sont établies quand

{x}

tend vers

{a}

Si ${f=\text{o}(g)}$ alors ${f=\text{O}(g)}$ .
Si ${f=\text{o}(g)}$ et ${g=\text{O}(h)}$ alors ${f=\text{o}(h)}$ (même résultat si ${f=\text{O}(g)}$ et ${g=\text{o}(h)}$ ).
Si ${f=\text{O}(h)}$ et si ${g=\text{O}(h)}$ , alors ${\alpha f+\beta g=\text{O}(h)}$ (même résultat avec des « ${\text{o}}$ »).
Si ${\alpha\ne0}$ et si ${f=\text{O}(g)}$ (resp. ${f=\text{o}(g)}$ , ${f\sim g}$ ), alors ${f=\text{O}(\alpha g)}$ (resp. ${f=\text{o}(g)}$ , ${\alpha f\sim\alpha g)}$
Si ${f\sim g}$ (et sont à valeurs réelles), alors ${f}$ et ${g}$ gardent le même signe au voisinage de ${+\infty}$ .
Si ${f\sim g}$ , et si ${\lim g=\ell}$ (avec ${\ell}$ dans ${\ov\mathbb{R}}$ ou dans ${\mathbb{C}}$ ), alors ${\lim f=\ell}$ .
Réciproquement : si ${\lim f=\lim g=\ell}$ (où ${\ell}$ est un scalaire non nul), alors ${f\sim g}$ .
Si ${\;f\sim g\;}$ alors ${\;fh\sim gh\;}$ et ${\;\dfrac{h}{f}\sim \dfrac{h}{g}}$ , et plus généralement : ${\;h\,f^{\alpha}\sim h\,g^{\alpha}}$ .
Attention !! Si ${f\sim g}$ alors on n'a pas, en général, ${f+h\sim g+h}$ .
Si ${f_2,f_3,\ldots,f_n}$ sont des ${\text{o}(f_1)}$ alors ${f_1+f_2+\cdots+f_n\sim f_1}$ .

P. Changement de variable et équivalent

Soient

{f}

{g}

deux fonctions de

{I\setminus\{a\}}

à valeurs dans

{\mathbb{R}}

(ou

{\mathbb{C}}

).
Soit

{\varphi}

une fonction de

{J}

dans

{I}

, qui tend vers

{a}

quand

{x}

tend vers

{b}

dans

{J}

.
Si

{f}

est dominée par

{g}

{a}

, alors

{f\circ\varphi}

est dominée par

{g\circ\varphi}

{b}

.
Si

{f}

est négligeable devant

{g}

{a}

, alors

{f\circ\varphi}

est négligeable devant

{g\circ\varphi}

{b}

.
Si

{f}

{g}

sont équivalentes en

{a}

, alors

{f\circ\varphi}

{g\circ\varphi}

sont équivalentes en

{b}

C'est surtout cette dernière propriété qui est utilisée.

Par exemple, du fait que ${\sin(x)\stackrel{0}{\sim} x}$ en ${0}$ , on peut écrire : ${\sin(x^2)\stackrel{0}{\sim} x^2}$ .

Toujours grâce à ${\sin(x)\stackrel{0}{\sim} x}$ , on trouve : ${\sin\Bigl(\dfrac1x\Bigr)\stackrel{\infty}{\sim}\dfrac1x\;\text{et}\;\sin(\ln(x))\stackrel{1}{\sim}\ln(x)\stackrel{1}{\sim}(x-1)}$

R. Conseils pour utiliser les équivalents

Les équivalents servent essentiellement aux calculs de limites : on transforme une expression ${f(x)}$ , dont on cherche la limite ${\ell}$ en un point ${a}$ , en une
expression équivalente ${g(x)}$ dont la limite en ce point est évidente (si ${\ell}$ est un scalaire non nul, il est courant qu'on aboutisse à ${g(x)=\ell}$ ).

Les outils essentiels sont les équivalents classiques (voir plus loin) et la possibilité qu'on a de remplacer les facteurs d'un produit ou d'un quotient par des équivalents.
L'erreur la plus fréquente consiste à utiliser les équivalents dans des sommes. La seule propriété concernant les équivalents et les sommes peut s'écrire : ${g=\text{o}(f)\Rightarrow f+g\sim f}$ .
On évitera d'utiliser un équivalent d'une fonction ${f}$ sous la forme ${f\sim g+h}$ , avec ${h=\text{o}(g)}$ , et surtout de donner un rôle à ${h}$ : on se contentera d'écrire ${f\sim g}$ .

Écrire par exemple ${\cos(x)\stackrel{0}{\sim}1-\dfrac{x^2}2}$ n'est pas faux mais c'est dangereux si on donne un rôle à ${-\dfrac{x^2}2}$ .

En effet, on a aussi : ${\cos(x)\stackrel{0}{\sim}1+x^2\stackrel{0}{\sim}1-36x^2\ldots}$

Pour cet exemple, la solution est sans doute d'écrire : ${1-\cos(x)\stackrel{0}{\sim} \dfrac{x^2}2}$ .
Soit ${\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\ell}$ , avec ${\ell\ne0}$ , alors ${f(x)\stackrel{a}{\sim}\ell}$ . Mais si ${\ell=0}$ , on n'écrira pas ${f(x)\sim0}$ !
Si ${f\sim g}$ ( ${f}$ et ${g}$ étant positives et tendant vers une limite ${\ell}$ différente de ${1}$ ) alors ${\ln(f)\sim\ln(g)}$ .

C'est faux si ${f}$ et ${g}$ tendent vers ${1}$ .
Par exemple, ${(1+x)\stackrel{0}{\sim}(1+x^2)}$ , mais en ce point ${\begin{cases}\ln(1+x)\sim x&\cr\ln(1+x^2)\sim x^2&\end{cases}}$ mais ${x\nsim x^{2}}$
On évitera surtout de prendre des "exponentielles" d'équivalents !
En effet ${\text{e}^ f\sim\text{e}^g\Leftrightarrow f-g=\text{o}(1)}$ , ce qui n'équivaut pas du tout à ${f\sim g}$ .
Exemples : considérer ${x}$ et ${x^2}$ en ${0}$ , ou encore ${x}$ et ${x+1}$ en ${+\infty}$ .

Comparaisons usuelles

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E. Exercices conseillés

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