Fonctions vectorielles (4/4)

Sans que la fonction {t\mapsto M(t)} soit {T}-périodique, il arrive que {M(t+T)} dépende de {M(t)} par une transformation géométrique simple. Il suffit alors d'étudier l'arc sur {[t_{0},t_{0}+T]}, puis d'appliquer cette transformation géométrique (éventuellement de façon répétée) pour obtenir toute la courbe.

Pour l'arc {t\mapsto M(t)} défini sur {I}, on suppose que les conditions suivantes sont réunies :

• l'intervalle {I} est partitionné en {I=J\cup K}.
• il existe une fonction {t\mapsto t'=\varphi(t)} telle que, si {t} parcourt {J} alors {t'} parcourt {K}.
• il existe une même symétrie reliant {M(t)} et {M(t')} pour tout {t} de {J}.

Dans ces conditions, on étudie l'arc sur {J}, et on applique la symétrie à la portion de courbe obtenue, ce qui donne le support de l'arc sur {I} tout entier.
La fonction {t\mapsto t'=\varphi(t)} est très souvent l'une des fonctions suivantes :

• la fonction {t\mapsto -t} (notamment quand {t\mapsto x(t)} et {t\mapsto y(t)} sont paires ou impaires): cela permet de réduire l'étude de l'arc aux valeurs {t\ge0}.
• une des fonctions {t\mapsto t'=a+b-t} ou {t\mapsto t'=\dfrac{a+b}2+t} quand {I=[a,b]};
  cela permet de réduire l'étude de l'arc à une moitié de l'intervalle {I}.

Le tableau de variations peut faire apparaître des situations particulières, qu'il faut étudier rapidement, en représentant l'allure de la courbe au voisinage du point considéré :

• asymptotes verticales, quand {\displaystyle\lim_{t\to t_0}y(t)=\pm\infty} et
  {\displaystyle\lim_{t\to t_0}x(t)=x_0\in\mathbb{R}};
  l'allure est donnée par le signe de {y(t)} et par le placement de {x(t)} par rapport à {x_0};
• asymptotes horizontales, quand {\displaystyle\lim_{t\to t_0}x(t)=\pm\infty} et {\displaystyle\lim_{t\to t_0}y(t)=y_0\in\mathbb{R}};
  l'allure est donnée par le signe de {x(t)} et par le placement de {y(t)} par rapport à {y_0};
• tangentes verticales, quand {x'(t_0)=0} et {y'(t_0)\ne0};
  tangentes horizontales, quand {y'(t_0)=0} et {x'(t_0)\ne0};
  les variations de {x(t)} et {y(t)} au voisinage de {t=t_0} précisent l'allure locale.
• intersections avec l'axe {x'Ox} quand {y(t)} s'annule, et avec l'axe {y'Oy} quand {x(t)} s'annule;
  on précise si possible la valeur de {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}} en ces points;
• points non réguliers (ou encore "stationnaires") quand {x'(t_0)=y'(t_0)=0};
  on étudie ces points (rebroussements de première espèce? de seconde espèce?), notamment avec un développement limité, et on représente l'allure de la courbe au voisinage du point étudié.
• branches infinies, quand {\displaystyle\lim_{t\to t_0}x(t)=\pm\infty} et
  {\displaystyle\lim_{t\to t_0}y(t)=\pm\infty}; on les étudie, notamment avec un développement asymptotique, et on représente l'allure de la courbe au voisinage du point étudié.

Considérons exemple l'astroïde {x(t)=a\cos^3(t),\;y(t)=a\sin^3(t)}On a {x(0)=a,\;y(0)=0}, et : {\dfrac{y(t)}{x(t)-a}=\dfrac{\sin^3t}{1-\cos^3t}\sim\dfrac{\sin^3t}{3(1-\cos t)}\sim\dfrac{2t}{3}}Ainsi {\displaystyle\lim_{t\to0}\dfrac{y(t)}{x(t)-a}=0}, ce qui prouve qu'il y a une tangente horizontale en {(a,0)}.
Sachant que {x'Ox} est axe de symétrie, cela signifie qu'il y a en ce point un rebroussement de première espèce : il est donc inutile d'effectuer un DL en ce point.
On peut aussi dire que : {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}=-\tan t}.
La tangente en tout point {M(t)}, avec {x'(t)\ne0}, a donc un coefficient directeur égal à {-t}.
Par passage à la limite, on retrouve la tangente horizontale au point {M(0)=(a,0)}.

On recherche un point double en résolvant {\begin{cases}x(t_0)=x(t_1)\\ y(t_0)=y(t_1)\end{cases}} avec {t_0\ne t_1}.
Ce système est symétrique en {t_0,t_1}, et il admet la solution évidente (mais à rejeter) {t_0=t_1}.

En général (notamment quand {x(t)} et {y(t)} sont des fractions rationnelles), on peut factoriser {(t_1-t_0)} dans les deux égalités de ce système.
Après simplification par {(t_1-t_0)}, et compte tenu du caractère symétrique du problème, on obtient un système par rapport à {p=t_0t_1} et {s=t_0+t_1}, et qui permet de trouver la ou les paires solutions {\{t_0,t_1\}} et donc le ou les points doubles.

En tout point {M(t)} de l'arc, la tangente a pour coefficient directeur {m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}=\dfrac{t(2-t)(t+1)^2}{t^2+1}}Mais pour {t=t_0} et {t=t_1}, on simplifie {m(t)} en utilisant {t^2=1-t} donc {t^{2}+1=2-t} : {\begin{array}{rl}m(t)&=t(t+1)^2=t(t^2+2t+1)\\[6pt]&=t(2+t)=2t+t^2=1+t\end{array}}On constate donc que : {\begin{array}{rl}m(t_0)m(t_1)&=(1+t_0)(1+t_1)\\[6pt]&=t_0t_1+(t_0+t_1)+1=-1\end{array}}Ainsi les deux tangentes en {A(-1,-1)} sont orthogonales.
On a représenté ici l'allure de l'arc au voisinage du point double.

• Points entiers sur une cubique
• Étude d’une hélice
• Un arc paramétré