Soit {(x_{n})_{n\ge0}} une suite d'un espace vectoriel normé {E}.
Elle est dite convergente s'il existe {\ell\in E} tel que :{\forall\, \varepsilon>0,\;\exists\, n_0\in\mathbb{N},\; \forall\, n\ge n_0,\;\left\|x_n-\ell\right\|\le\varepsilon}Sinon, la suite {(x_{n})_{n\ge0}} est dite divergente.
R. Variantes de la définition
L'inégalité {\left\|x_n-\ell\right\|\le\varepsilon} s'écrit aussi {x_n\in \overline{B}(\ell,\varepsilon)}, ou encore {d(x_n,\ell)\le\varepsilon}.
Dans la définition précédente, on peut remplacer {\left\|x_n-\ell\right\|\le\varepsilon} par {\left\|x_n-\ell\right\|\lt \varepsilon}.
On peut même y remplacer {\left\|x_n-\ell\right\|\le\varepsilon} par {\left\|x_n-\ell\right\|\le K\varepsilon}, où {K>0}.
P. Unicité de la limite si convergence
Soit {(x_{n})_{n\ge0}} une suite d'un espace vectoriel normé {E}.
Si cette suite est convergente, l'élément {\ell} de la définition est unique.
On l'appelle limite de {(x_{n})_{n\ge0}}. On note {\ell =\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n}.
P. Toute suite convergente est bornée
Soit {(x_{n})_{n\ge0}} une suite d'un espace vectoriel normé {E}.
Si cette suite est convergente, alors elle est bornée (mais la réciproque est fausse!).
R. Propriétés immédiates
Toute suite stationnaire est convergente vers la valeur où elle stationne.
Si la suite {(x_{n})_{n\ge0}} converge vers {\ell}, la suite {n\mapsto\bigl(\left\|x_n\right\|\bigr)_{n\ge0}} converge vers {\left\|\ell\right\|}.
La suite {(x_{n})_{n\ge0}} converge vers {\ell} si et seulement si {n\mapsto\left\|x_n-\ell\right\|} converge vers {0}.