(Oral X Mp/Mpi)
Soit {A} une partie de {\mathbb{N}} contenant {0}, non réduite à {\{0\}} et stable par somme. On note {d=\operatorname{pgcd}(A)}.
Question a)
Montrer que {\{x-y:\ (x,y)\in A^2\}=d\mathbb{Z}.}
Montrer que {\{x-y:\ (x,y)\in A^2\}=d\mathbb{Z}.}
Question b)
On suppose que {d=1}. Montrer que {\mathbb{N}\setminus A} est fini.
On suppose que {d=1}. Montrer que {\mathbb{N}\setminus A} est fini.
Question c)
Soient {a} et {b} deux entiers naturels premiers entre eux. Quel est le plus grand entier n’appartenant pas à {a\mathbb{N}+b\mathbb{N}} ?
Soient {a} et {b} deux entiers naturels premiers entre eux. Quel est le plus grand entier n’appartenant pas à {a\mathbb{N}+b\mathbb{N}} ?