Polynômes (4/8)

Il s'agit ici d'une dérivée "formelle", c'est-à-dire purement symbolique.
Mais si {\mathbb{K}=\mathbb{R}}, alors la fonction polynomiale associée au polynôme {A'} est bien la dérivée (au sens habituel donné à ce nom) de la fonction polynomiale associée à {A}.
En revanche si {\mathbb{K}=\mathbb{C}}, ça n'a aucun sens de parler de fonction dérivée.

• Si {A=aX^3+bX^2+cX+d} alors {A'=3aX^2+2bX+c}.
• Si {A=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}a_kX^k}, alors {A'=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)a_{k+1}X^{k}}, ou encore {A'=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}k\,a_kX^{k-1}}.
• Si {\deg(A)\ge1} on a {\deg(A')=\deg(A)-1}.
  Pour cette raison, {A'} est le polynôme nul si et seulement si {A} est un polynôme constant.
  Plus généralement : {\begin{array}{l}\forall\, (A,B)\in\mathbb{K}[X]^2,\\[9pts]A'=B'\Leftrightarrow\exists\,\lambda\in\mathbb{K},\;A=B+\lambda\end{array}}

On dit que {A^{(m)}} est le polynôme dérivé {m}-ième de {A}.

On note bien sûr {A'} et {A''} plutôt que {A^{(1)}} et {A^{(2)}}.

Plus généralement, si {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_kX^k}, alors :{\begin{array}{rl}A^{(m)}&=\displaystyle\sum_{k\ge m}\dfrac{k!}{(k-m)!}\,a_{k}X^{k-m}\\[9pts]&=\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{(k+m)!}{k!}\,a_{k+m}X^k\end{array}}

Mais si {m>\deg A} alors {A^{(m)}=0}.

On a donc {A^{(m)}=0} si et seulement si {A} est de degré strictement inférieur à {m}.

Si {A=\displaystyle\sum_{k\ge0}a_{k}X^k} est de degré {n}, alors {A^{(n)}} est le polynôme constant {n!\,a_n}.

On retrouve {(AB)'=A'B+AB'}, mais aussi :{\begin{cases}(AB)''=A''B+2A'B'+AB''\cr (AB)'''=A'''B+3A''B'+3A'B''+AB'''\end{cases}}On se méfiera de l'analogie entre {(AB)^{(n)}} dans {\mathbb{K}[X]} et {(a+b)^n} dans {\mathbb{K}}.

En effet on a {A^{(0)}=A} et {B^{(0)}=B} "aux extrémités", alors que dans {\mathbb{K}} on a {a^0=b^0=1}.