Polynômes (7/8)

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La construction du corps ${\mathbb{K}(X)}$

Comme d’habitude, on pose

{\mathbb{K}=\mathbb{R}}

{\mathbb{C}}

D. Une relation d'équivalence

On définit une relation sur

{\mathbb{K}[X]\times(\mathbb{K}[X]\setminus\{0\})}

de la façon suivante : pour tous couples de polynômes

{(A,B)}

{(C,D)}

, avec

{B\ne0}

{D\ne0}

{(A,B)\mathcal{R}(C,D)\Leftrightarrow AD=BC}

P. Définition des fractions rationnelles

Avec les définitions précédentes,

{\mathcal{R}}

est une relation d'équivalence sur

{\mathbb{K}[X]\times(\mathbb{K}[X]\setminus\{0\})}

.
Les classes d'équivalence pour cette relation sont appelées fractions rationnelles à coefficients dans

{\mathbb{K}}

.
On note

{\mathbb{K}(X)}

l'ensemble des fractions rationnelles à coefficients dans

{\mathbb{K}}

.
La classe d'équivalence

{R}

du couple

{(A,B)}

, avec

{B\ne0}

, est notée

{F=\dfrac{A}{B}}

Ainsi pour ${A,B,C,D}$ dans ${\mathbb{K}[X]}$ , avec ${B\ne0}$ et ${D\ne0}$ , on a : ${\dfrac{A}{B}=\dfrac{C}{D}\Leftrightarrow AD=BC}$ .

R. Remarques

On ne confondra pas les notations

{\mathbb{K}[X]}

(polynômes) et

{\mathbb{K}(X)}

(fractions rationnelles).

Quand on dit "soit ${F=\dfrac AB}$ une fraction rationnelle", on sous-entend « ${A,B}$ sont dans ${\mathbb{K}[X]}$ et ${B\ne 0}$ ».

Dans l'écriture ${F=\dfrac{A}{B}}$ , on dit bien sûr que ${A}$ est le numérateur et que ${B}$ est le dénominateur.

R. Forme irréductible

Pour tous polynômes

{A,B,Q}

, avec

{B\ne0}

{Q\ne0}

, on a

{\dfrac{AQ}{BQ}=\dfrac{A}{B}}

Soit ${F=\dfrac AB}$ un élément de ${\mathbb{K}(X)}$ . Soit ${\Delta=A\wedge B}$ .

Il existe deux polynômes ${C,D}$ tels que ${\begin{cases}A=\Delta C\cr B=\Delta D\end{cases}}$ donc tels que ${F=\dfrac CD}$ , avec ${C\wedge D=1}$ .

Sous cette dernière forme, on dit que ${F}$ est écrite sous forme irréductible, ou simplifiée.

Réciproquement, supposons ${F=\dfrac AB=\dfrac CD}$ , avec ${C\wedge D=1}$ .

Alors il existe ${Q}$ dans ${\mathbb{K}[X]}$ tel que ${\begin{cases}A=Q C\cr B=Q D\end{cases}}$

Si on supppose deplus ${A\wedge B=1}$ , alors il existe ${\lambda}$ dans ${\mathbb{K}^*}$ tel que ${A=\lambda C}$ et ${B=\lambda D}$ .

On en déduit que la forme irréductible d'une fraction rationnelle non nulle est unique si on impose au dénominateur d'être un polynôme unitaire.

Par exemple, celle de ${F=\dfrac{X^{6}-1}{X^{4}-1}=\dfrac{(X^{2}-1)(X^{4}+X^{2}+1)}{(X^{2}-1)(X^{2}+1)}}$ est ${F=\dfrac{X^{4}+X^{2}+1}{X^{2}+1}}$

R. Polynômes ⊂ fractions rationnelles

Dans toute la suite, on identifie la fraction rationnelle

{F=\dfrac{A}{1}}

avec le polynôme

{A}

Cette identification permet de considérer les polynômes comme des fractions rationnelles particulières.

Le polynôme nul notamment s'identifie à ${F=\dfrac{0}{1}}$ (avec d'ailleurs ${F=\dfrac{0}{B}}$ pour tout ${B\ne0}$ ).

Dire qu'une fraction rationnelle ${F=\dfrac{A}{B}}$ est non nulle, c'est dire que son numérateur ${A}$ est non nul.

P. Corps des fractions rationnelles

Soit

{F=\dfrac{A}{B}}

{G=\dfrac{C}{D}}

dans

{\mathbb{K}(X)}

. On pose :

{\dfrac AB+\dfrac CD=\dfrac{AD+BC}{BD}\;\text{et}\;\dfrac AB\,\dfrac CD=\dfrac{AC}{BD}}

Ces définitions ne dépendent pas des couples

{(A,B)}

{(C,D)}

utilisés pour représenter

{F}

{G}

.
Munis de ces deux opérations, l'ensemble

{\mathbb{K}(X)}

possède une structure de corps.

R. Remarques

Le neutre dans

{\mathbb{K}(X)}

pour la loi

{+}

est la fraction rationnelle (le polynôme)

{F=0}

L'opposé de la fraction rationnelle ${F=\dfrac AB}$ est la fraction rationnelle ${-F=\dfrac{-A}B}$ .

Le neutre dans ${\mathbb{K}(X)}$ pour la loi ${\times}$ est la fraction rationnelle (le polynôme) ${F=1}$ .

Si ${A\ne0}$ , l'inverse de ${F=\dfrac AB}$ pour la loi ${\times}$ est la fraction rationnelle ${\dfrac 1F=\dfrac BA}$ .

D. Fonction rationnelle associée

Soit

{F=\dfrac AB}

une fraction rationnelle, supposée irréductible (c'est-à-dire telle que

{A\wedge B=1}

Soit ${\widetilde A,\widetilde B}$ les fonctions polynomiales associées aux polynômes ${A}$ et ${B}$ .
La fonction rationnelle ${\widetilde F}$ associée à ${F}$ est la fonction ${x\mapsto \widetilde F(x)=\dfrac{\widetilde A(x)}{\widetilde B(x)}}$ .
Son domaine de définition est ${\mathbb{K}}$ privé de l'ensemble des racines de ${B}$ .

R. Remarques

L'application qui à une fraction rationnelle ${F}$ associe la fonction ${\widetilde F}$ est injective.
Si les fonctions ${\widetilde F}$ et ${\widetilde G}$ sont égales en un nombre infini de points, alors les fractions rationnelles ${F}$ et ${G}$ sont égales. On peut donc sans danger identifier une fraction rationnelle et sa fonction rationnelle associée.
Soit ${F}$ dans ${\mathbb{R}[X]}$ , et soit ${\alpha}$ dans ${\mathbb{C}}$ . Alors ${\widetilde F(\overline\alpha)}$ est le conjugué de ${\widetilde F(\alpha)}$ .

R. (Im)parité d'une fraction rationnelle

Si une fraction rationnelle est paire (invariante par

{X\to-X}

), on peut l'écrire

{F(X)=\dfrac{A(X^{2})}{B(X^{2})}}

.
Si elle est impaire, on peut l'écrire

{F(X)=X\dfrac{A(X^{2})}{B(X^{2})}}

Par exemple ${G=\dfrac{X^4-1}{X^6+3X^2+1}}$ est paire : ${G=\dfrac{A(X^2)}{B(X^2)}\text{\ avec\ }\begin{cases}A=X^2-1\\B=X^3+3X+1\end{cases}}$ De même, ${G=\dfrac{X^4+1}{X(X^2+1)}}$ est impaire : ${G=\dfrac{XA(X^2)}{B(X^2)}\text{\ avec\ }\begin{cases}A=X^2+1\\B=X(X+1)\end{cases}}$

D. Fraction rationnelle dérivée

On dit que

{F'=\dfrac{A'B-AB'}{B^2}}

est la fraction rationnelle dérivée de

{F=\dfrac AB}

R. Opérations et dérivation

Cette définition ne dépend pas du couple ${(A,B)}$ utilisé pour représenter ${F}$ .
On vérifie les propriétés : ${\begin{cases}(\lambda F+\mu G)'=\lambda F'+\mu G'\\(FG)'=F'G+FG'\end{cases}}$
On a également une formule de Leibniz.
On a ${F'=0}$ si et seulement si ${F}$ est un polynôme constant.
Si ${F}$ est une fraction rationnelle à coefficients réels, la fonction rationnelle associée à ${F'}$ est
la dérivée (au sens habituel donné à ce terme) de la fonction rationnelle associée à ${F}$ .

D. Fraction rationnelle conjuguée

Pour

{A=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}a_kX^k\in\mathbb{C}[X]}

, soit

{\overline{A}=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\overline{a_k}\,X^k}

Soit ${F=\dfrac{A}{B}}$ dans ${\mathbb{C}(X)}$ . On appelle conjuguée de ${F}$ la fraction rationnelle ${\overline{F}=\dfrac{\overline{A}}{\overline{B}}}$ .

R.Remarques et propriétés

Soit ${F,G}$ dans ${\mathbb{C}(X)}$ et ${\lambda,\mu}$ dans ${\mathbb{C}}$ . Alors ${\overline{\lambda F+\mu G}=\overline{\lambda}\;\overline{F}+\overline{\mu}\;\overline{G}}$ .
Soit ${F}$ un élément de ${\mathbb{C}(X)}$ . Alors ${F=\overline{F\,}\Leftrightarrow F}$ est un élément de ${\mathbb{R}(X)}$ .

Composition de deux fractions rationnelles

Soit ${A=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_kX^k}$ un polynôme, et soit ${F}$ une fraction rationnelle.
On pose ${A(F)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k F^k}$ . C'est un élément de ${\mathbb{K}(X)}$ .
Soit ${F}$ et ${G}$ deux fractions rationnelles, ${F}$ n'étant pas constante.

Si ${G=\dfrac AB}$ , on pose ${G(F)=\dfrac{A(F)}{B(F)}}$ . C'est un élément de ${\mathbb{K}(X)}$ (on a ${B(F)\ne0}$ ).

On dit que ${G(F)}$ est la composée de la fraction rationnelle ${F}$ par la fraction rationnelle ${G}$ .
Posons par exemple ${G=\dfrac{X^2+1}{X^3+X-1}}$ .

Alors ${G(-X)=\dfrac{X^2+1}{X^3-X-1}}$ .

De même ${G(X^2)=\dfrac{X^4+1}{X^6+X^2-1}}$ .

Enfin : ${G\Bigl(\dfrac1X\Bigr)=\dfrac{\dfrac1{X^2}+1}{\dfrac1{X^3}+\dfrac1X-1}=\dfrac{X^3+X}{-X^3+X^2+1}}$
On a bien sûr ${G(X)=G}$ . C'est pourquoi on peut noter ${G(X)}$ une fraction rationnelle.

Degré, partie entière

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Zéros et pôles, multiplicités

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