Critère de Stein
Caractériser la convergence vers la loi normale par {\mathbb E(X_nf(X_n)-f'(X_n))\to0}.
Ens Mp/Mpi
Une matrice aléatoire symétrique
Plus grande valeur propre d’une matrice aléatoire symétrique de taille {n}.
Convergence complète des moyennes
Contrôler les écarts d’une moyenne empirique, avec une hypothèse d’intégrabilité.
Queue gaussienne et moments
Comparer les bornes {\mathbb P(X>t)\leqslant e^{-at^2}} et {\mathbb E(e^{uX})\leqslant e^{cu^2}}. Utiliser Markov et Taylor.
Intégrabilité d’une somme aléatoire
Marche aléatoire sur un groupe cyclique
Diagonaliser la matrice de transition d’une marche modulo un nombre premier.
Problème du collectionneur d’images
Combien d’achats aléatoires faut-il pour réunir {N} images différentes ?
Isomorphisme de graphes aléatoires
Isomorphisme de deux graphes aléatoires sur {\mathbb N}.
Retours à l’origine
Une marche aléatoire symétrique revient-elle indéfiniment à l’origine ?
Premier passage en terrain positif
Quand une marche aléatoire symétrique est-elle strictement positive pour la 1ère fois ?
Dés pipés et polynômes palindromiques
Peut-on rendre uniforme la somme de {n\!\geqslant\!2} dés indépendants à 6 faces en les pipant ?
Marche aléatoire modulo K premier
Somme de variables aléatoires indépendantes modulo un nombre premier {K}.
Dés truqués et somme de loi uniforme
Peut-on truquer deux dés indépendants pour que leur somme soit uniforme ?
Probabilité d’une seule victoire
Problème du vestiaire
On redistribue aléatoirement {n} vestes, combien de participants retrouvent la leur ?
Équadiff à coefficients de Poisson
Théorème de Minkowski dans le plan
Bases et pavage associés à un réseau du plan.
Densité maximale d’un empilement
Proportion du plan couverte par des disques de rayon {1} disjoints, centrés sur un réseau
Invariance par un champ tangent
Quelques espaces tangents
Vecteurs tangents au groupe orthogonal, aux exponentielles de matrices de trace 0,…
Ouverts et vecteurs tangents
En un point d’un ouvert, tous les vecteurs sont tangents. Réciproque?
Dérivées des valeurs propres
Comment les valeurs propres simples de {A\in\mathcal S_n(\mathbb{R}^+)} varient-elles sous perturbation ?
Principe du max, condition de Neumann
Signe du laplacien, extrema, et principe de positivité pour {\partial_t f-\Delta f} sur un disque.
Polynômes d’Hermite et équadiff
Orthogonalité des solutions polynomiales de {-y''\!+\!xy'\!=\!\lambda y} et application à une edp.
Prolongement harmonique
Laplacien de la transformée de Kelvin
Identité d’Euler pour calculer le laplacien de la transformée de Kelvin de {f} homogène.
Convergence exponentielle du flot
Flot de gradient de {f} strictement convexe coercive de hessienne uniformément minorée
Convergence du flot de gradient
Application à jacobienne antisymétrique
Montrer qu’une application de classe {\mathcal{C}^2} à jacobienne antisymétrique est affine.
Application à différentielle constante
Montrer qu’une application de {\mathbb{R}^n} dans lui-même à différentielle constante est affine.
Longueur d’un graphe polynomial
La longueur du graphe d’un polynôme sur {[0,1]} est différentiable en les coefficients.
Flot de gradient d’une fonction convexe
Étude du flot de gradient {x'=-\nabla F(x)} d’une fonction convexe.
Produit d’exponentielles de matrices
Invariance du polynôme caractéristique
Zéros d’une solution d’équadiff
Modèles de croissance à paramètre
Résoudre plusieurs modèles de croissance et comparer leurs taux relatifs à l’infini.
Limites des solutions d’une equadiff2
Intégrale et Cayley-Hamilton
Prouver Cayley-Hamilton en calculant deux fois une même intégrale matricielle
Indice d’un lacet et déformation
Étudier l’indice d’un lacet. Deux lacets assez proches ont le même indice autour de {0}.
Indice d’un chemin fermé
Dérivabilité complexe {\Rightarrow} différentiabilité réelle.
Indice d’un chemin et composantes connexes.
Indice d’un chemin et composantes connexes.
Reconstruction d’une fonction
Une fonction continue intégrable {f} est-elle déterminée par {F(z)\!=\!\int_{\mathbb{R}}f(t)/(t\!-\!z)\,\mathrm{d}t}?
Opérateur intégral et sev propres
Sev propres d’un opérateur intégral et d’un opérateur différentiel qui commutent.
Intégrale oscillante et équation d’Airy
Une intégrale oscillante à phase cubique définit-elle une fonction deux fois dérivable ?
L’intégrale de Fresnel
Une intégrale auxiliaire à paramètre permet de calculer l’intégrale de Fresnel {\int_0^{+\infty}\!\!e^{it^2}\mathrm{d}t}
Calcul de l’intégrale de Gauss
Calculer {\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm{d}u} grâce à une intégrale auxiliaire dépendant d’un paramètre.
Dévelop. asymptotique d’une intégrale
Étudier une intégrale généralisée construite à partir de {u(x\!+\!y)\!+\!u(x\!-\!y)\!-\!2u(x)}.
Intégrale des puissances d’une fonction
Intégrale oscillante à phase perturbée
Une perturbation de la phase {nt} modifie-t-elle la limite d’une intégrale oscillante ?
Convergence en moyenne
Sommation de Borel et équa. diff.
Solution Borel-sommable de {t^2y'+y=t}.