Réduction des matrices (3/4)

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Diagonalisabilité

D. Endomorphisme diagonalisable

Soit

{u}

un endomorphisme d'un

{\mathbb{K}}

-espace vectoriel

{E}

de dimension

{n\ge1}

On dit que ${u}$ est diagonalisable s’il existe une base ${\mathcal{B}}$ de ${E}$ dans laquelle la matrice de ${u}$ est diagonale. On dit alors que ${\mathcal{B}}$ est une base de diagonalisation de ${u}$ .

NB: cela équivaut à dire que ${\mathcal{B}}$ est formée de vecteurs propres de ${u}$ .

D. Matrice carrée diagonalisable

On dit qu'une matrice

{A}

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale

{D}

, c'est-à-dire s'il

{P\in\text{GL}_n(\mathbb{K})}

telle que

{A=P D P^{-1}}

On dit que ${D\!=\!P^{-1}\!AP}$ est une réduite diagonale de ${A}$

Remarque : si ${A}$ est diagonalisable et si ${B}$ est semblable à ${A}$ , alors ${B}$ est diagonalisable.

R. Équivalence des deux définitions

Soit

{u}

un endomorphisme de

{E}

, de matrice

{A}

dans une base

{\mathcal{B}}

{E}

On suppose que ${u}$ est diagonalisable. Soit ${\mathcal{B}'}$ une base de diagonalisation de ${u}$ .
Soit ${P}$ la matrice de passage de ${\mathcal{B}}$ à ${\mathcal{B}'}$ .
Avec ces notations, la matrice (diagonale) de ${u}$ dans ${\mathcal{B}'}$ est ${D=P^{-1}AP}$ . Donc ${A}$ est diagonalisable.
Réciproquement, on suppose ${A}$ diagonalisable.
Soit ${P}$ une matrice inversible et ${D}$ une matrice diagonale telle que ${A=PDP^{-1}}$ .
On interprète ${P}$ comme la matrice de passage de la base ${\mathcal{B}}$ à une base ${\mathcal{B}'}$ de ${E}$ .
La matrice de ${u}$ dans ${\mathcal{B}'}$ est la matrice diagonale ${P^{-1}AP=D}$ , donc ${u}$ est diagonalisable.

En résumé, un endomorphisme ${u}$ d'un ${\mathbb{K}}$ -espace ${E}$ (de dimension ${n\ge1}$ ) est diagonalisable si et seulement si sa matrice ${A}$ (dans une base quelconque ${\mathcal{B}}$ de ${E}$ ) est diagonalisable.

Réciproquement, dire qu'une matrice ${A}$ de ${\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}$ est diagonalisable, c'est dire que tout endomorphisme ${u}$ d'un ${\mathbb{K}}$ -espace vectoriel ${E}$ de dimension ${n}$ ayant pour matrice ${A}$ dans une certaine base est lui-même diagonalisable.

R. Remarques terminologiques

On identifie souvent une matrice

{A}

{\mathcal{M}_{n}(\mathbb{K})}

à l'endomorphisme

{\widehat{A}}

{{\mathcal M}_{n,1}(\mathbb{K})}

défini par

{X\mapsto AX}

(dans ce cas

{A}

est la matrice de l'endomorphisme

{\widehat{A}}

dans la base canonique).

Dire que la matrice ${A}$ est diagonalisable, c'est dire que l'endomorphisme ${\widehat{A}}$ est diagonalisable, et l'égalité ${D=P^{-1}AP}$ (où ${D}$ est diagonale) exprime que la matrice inversible ${P}$ est la matrice de passage de la base canonique de ${{\mathcal M}_{n,1}(\mathbb{K})}$ à une base de vecteurs propres de l'endomorphisme ${\widehat{A}}$ .

Avec les notations ci-dessus, les coefficients de la diagonale de ${D}$ sont les valeurs propres de ${\widehat{A}}$ (c'est-à-dire les valeurs propres de ${A}$ ), chacune figurant autant de fois que son ordre de multiplicité.

Dans la pratique, il a peu de risque à identifier ${A}$ et ${\widehat{A}}$ .

E. Exercices conseillés

Conditions de diagonalisabilité

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Applications de la diagonalisation

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