On trouvera ici les énoncés des épreuves écrites de mathématiques (2022 à 2026) posées aux concours des écoles scientifiques (X, ENS, MINES, CENTRALE, INP, etc.) dans la filière PSI.
Classement par année
Année 2022 (énoncés et corrigés)
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- Convexité, projection et séparation en dimension finie.
Étude des points extrémaux, des cônes convexes et de la dualité en programmation linéaire.
Application aux systèmes linéaires sous-déterminés : recherche d’une solution minimisant la norme un et possédant peu de coordonnées non nulles. Polytechnique – ENS, mathématiques - Matrices et polynômes de Hurwitz.
Étude des matrices semi-simples et caractérisation des matrices diagonalisables sur les complexes.
Application aux systèmes différentiels linéaires : lien entre le spectre de la matrice et la décroissance exponentielle des solutions. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Construction de matrices aléatoires à coefficients égaux à moins un ou un.
Étude de plusieurs procédés de génération, puis de vecteurs aléatoires unitaires.
Des inégalités de concentration permettent de construire de grandes familles de vecteurs dont les produits scalaires sont petits. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Étude d’un opérateur intégral sur un espace préhilbertien.
Construction du produit scalaire et recherche des éléments propres à l’aide d’équations différentielles.
Étude des solutions polynomiales et des solutions développables en série entière, puis obtention d’une famille de polynômes orthogonaux. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Deux problèmes indépendants.
Le premier calcule l’intégrale de Gauss et établit une approximation de probabilités binomiales par le théorème de Moivre-Laplace.
Le second construit une factorisation QR à l’aide des matrices de rang un et des transformations de Householder. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices : loi discrète et calcul de moments ; réduction d’un endomorphisme polynomial ; équation différentielle, représentation intégrale et série entière ; décompositions de matrices réelles.
Outils : sommes télescopiques, valeurs propres, dérivation sous l’intégrale et matrices orthogonales. Concours commun E3A Psi
Année 2023 (énoncés et corrigés)
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- Convexité, entropie et transport régularisé.
Étude des points selles, d’un problème de codage et de la dualité en optimisation.
Construction d’une méthode itérative et démonstration de sa convergence vers la solution du problème de transport. Polytechnique – ENS, mathématiques - Distance en variation totale entre lois de probabilité sur les entiers.
Étude du nombre de points fixes d’une permutation et de l’approximation par une loi de Poisson.
Comparaison de lois binomiales et de Poisson, avec des majorations explicites des erreurs. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Endomorphismes d’espaces de matrices conservant le rang, le déterminant ou le polynôme caractéristique.
Étude des multiplications matricielles, avec ou sans transposition.
Classification de certaines transformations conservant ces propriétés à l’aide du rang, de la trace et de la similitude. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Formule de Stirling et applications aux marches aléatoires.
Calcul de l’intégrale de Gauss, raffinement de Stirling et utilisation de séries entières.
Le dénombrement des chemins et le principe de réflexion conduisent à la loi de l’arcsinus pour la dernière visite à l’origine. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Un exercice sur une fonction de Bessel définie par une intégrale.
Deux problèmes étudient une marche aléatoire sur les entiers et la convergence des puissances de matrices.
Application à la convergence de la méthode de Gauss-Seidel pour résoudre un système linéaire. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices : loi jointe et matrice de probabilités conditionnelles ; intégrales et séries de fonctions ; propriétés spectrales de matrices ; intégrales de Fresnel.
Outils : conditionnement, rang, matrices symétriques positives, convergence et intégration par parties. Concours commun E3A Psi - Trois exercices : probabilité qu’une matrice aléatoire soit diagonalisable ; réduction d’un endomorphisme polynomial ; étude d’endomorphismes symétriques.
Construction de bases propres, projections et caractérisation des endomorphismes symétriques positifs, notamment de rang un. Concours National Maroc, maths 2
Année 2024 (énoncés et corrigés)
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- Fonctions de matrices définies à partir de séries entières.
Étude du polynôme minimal, du rayon spectral et du cas diagonalisable.
Applications à plusieurs familles de matrices, avec calcul de fonctions matricielles à l’aide de polynômes et de formules spectrales. Polytechnique – ENS, mathématiques - Étude d’une marche aléatoire et de son comportement asymptotique.
Une première partie établit des résultats sur les sommes de Riemann.
La formule de Stirling et ces estimations permettent ensuite d’obtenir un équivalent d’une espérance associée à la marche. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Applications de l’intégrale de Gauss.
Calcul à partir des intégrales de Wallis, puis résolution d’une équation différentielle par séries entières.
Étude d’un endomorphisme autoadjoint, construction de polynômes orthogonaux et démonstration du caractère total de cette famille. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Série harmonique et constante d’Euler.
Application au problème du collectionneur de vignettes, puis établissement de plusieurs représentations intégrales de la constante.
Recherche d’une valeur approchée et étude d’une série entière aux bornes de son intervalle de convergence. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Deux problèmes et un exercice indépendants.
Étude d’une file d’attente et des temps d’arrivée des clients, démonstration de l’équivalent de Stirling, puis analyse des blocs de Jordan.
Application à la stabilité et au caractère borné des solutions de systèmes différentiels linéaires. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices : matrice aléatoire construite avec des variables binomiales ; éléments propres d’un opérateur intégral ; matrice symétrique obtenue par perturbations de rang un ; suite d’intégrales impropres.
Outils : dénombrement, équations différentielles, réduction et convergence d’intégrales. Concours commun E3A Psi
Année 2025 (énoncés et corrigés)
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- Méthodes de descente pour l’optimisation convexe.
Étude de la convergence et de sa vitesse sous différentes hypothèses, puis introduction de la descente de gradient proximale.
Application à l’optimisation d’une fonction quadratique sur la boule unité et aux espaces propres dominants. Polytechnique – ENS, mathématiques - Modèle SIR de propagation d’une épidémie et séries de Dirichlet.
Linéarisation d’une équation différentielle, relations entre coefficients et approximation de sa solution.
Application au modèle déterministe SIR, puis étude d’un modèle probabiliste d’évolution des effectifs. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Conditionnement des matrices et applications.
Construction d’une norme matricielle, estimations et calculs explicites de conditionnements.
Étude des matrices orthogonales et symétriques, puis deux démonstrations de l’inégalité de Kantorovich à l’aide des valeurs propres. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Attribution de valeurs à des séries divergentes par des procédés de sommation.
Étude de deux approches pour la série des entiers, puis de la constante de Ramanujan.
Outils : développements asymptotiques, formule d’Euler-Maclaurin, formules de Taylor généralisées et formule d’Euler-Boole. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Un exercice sur les probabilités de déviation d’une variable de Poisson.
Deux problèmes consacrés au calcul et à la convergence de séries de Fourier, puis à l’inégalité et aux matrices de Hadamard.
Outils : fonctions génératrices, intégration, déterminants et inégalité arithmético-géométrique. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices : extrema d’une fonction sur un disque ; équation différentielle avec singularité en zéro ; diagonalisation d’une famille de matrices symétriques ; transformations de variables géométriques.
Outils : calcul différentiel, séries entières, réduction et indépendance de variables aléatoires. Concours commun E3A Pc
Année 2026 (énoncés et corrigés)
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- Détermination d’une fonction convexe à une constante près par la norme de son gradient.
Étude du cas d’une variable, des fonctions quadratiques et d’un cadre plus général.
Outils : convexité, points critiques, matrices symétriques et trajectoires de gradient. Polytechnique – ENS, mathématiques - Probabilité qu’un entier choisi uniformément ne soit divisible par aucune puissance k-ième d’un nombre premier.
Calcul de valeurs de la fonction zêta à l’aide de séries et des nombres de Bernoulli.
La probabilité étudiée converge vers l’inverse de zêta en k. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Temps d’attente avant l’apparition de plusieurs piles consécutifs.
Étude des premiers cas, puis traitement général par les fonctions génératrices.
Calcul de probabilités d’apparition au cours d’un nombre fixé de lancers, à l’aide de récurrences et de leurs polynômes caractéristiques. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Construction et étude des polynômes de Jacobi.
Produit scalaire intégral, coefficients binomiaux généralisés et orthogonalité.
Le cas particulier des polynômes de Legendre conduit à des relations de récurrence et au calcul de leur fonction génératrice. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Deux exercices sur un jeu de pile ou face et la caractérisation de la fonction Gamma.
Le problème étudie une classe d’endomorphismes admettant une décomposition en droites et plans stables.
Outils : fonctions génératrices, convexité, polynômes annulateurs et endomorphismes de carré nul. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices : calcul différentiel et extrema ; suite récurrente définie par un logarithme ; réduction d’un endomorphisme polynomial ; somme de deux dés indépendants.
Outils : Hessienne, contraction, polynômes propres et fonctions génératrices.
Le dernier exercice examine la possibilité d’obtenir une somme uniformément distribuée. Concours commun E3A Psi