On trouvera ici les énoncés et les corrigés des épreuves écrites de mathématiques (2022 à 2026) posées aux concours des écoles scientifiques (X, ENS, MINES, CENTRALE, INP) dans la filière PC.
Classement par année
Année 2022 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Points fixes et convergence de méthodes itératives.
Étude des matrices contractantes et de fonctions de deux variables.
Application à la méthode de la sécante pour approcher une racine, avec des conditions assurant que les itérations sont définies et convergent. Polytechnique – ESPCI – ENS, mathématiques - Étude asymptotique du nombre de partitions d’un entier.
Construction d’une fonction génératrice, développement en série entière et estimations au voisinage de un.
Le problème établit une majoration du nombre de partitions, en lien avec la formule de Hardy et Ramanujan. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Théorème matriciel de Kreiss : comparaison entre les puissances d’une matrice et sa résolvante.
Étude des normes d’opérateurs, de la variation totale et de l’inégalité de Spijker.
Ces outils permettent d’obtenir une borne uniforme sur les puissances de la matrice. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Matrices symétriques, rayon spectral et matrices de covariance.
Recherche de combinaisons linéaires de variables aléatoires maximisant la variance sous une contrainte de norme.
Construction de composantes décorrélées, à la base de l’analyse en composantes principales. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Interpolation polynomiale et phénomène de Runge.
Étude des polynômes de Lagrange et de Tchebychev, puis de la convergence des polynômes interpolateurs.
Comparaison du choix des points d’interpolation et construction d’un exemple de divergence avec des points régulièrement espacés. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Trois exercices indépendants : réduction d’un endomorphisme polynomial défini par division euclidienne ; longueur et nombre de séries de résultats identiques au jeu de pile ou face ; construction de la constante d’Euler.
Outils : interpolation de Lagrange, fonctions génératrices et convergence d’intégrales. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices : modèle probabiliste de sauts successifs ; série alternée liée aux intégrales de Wallis ; diagonalisation simultanée de deux endomorphismes ; intégrale à paramètre.
Le dernier exercice permet de calculer l’intégrale du carré du sinus cardinal. Concours commun E3A Pc - Recherche du point du plan minimisant la somme des distances à des points donnés.
Existence et unicité du minimum, calcul du gradient et localisation dans un polygone convexe.
Application à une configuration triangulaire, avec distinction selon les angles. EPITA, option
Année 2023 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Modèles matriciels de dynamique des populations.
Étude de matrices stochastiques, de propriétés de contraction et de la convergence vers un équilibre.
La dernière partie utilise des estimations probabilistes pour établir une convergence presque sûre. Polytechnique – ESPCI – ENS, mathématiques - Inégalités de convexité autour du déterminant.
Étude de matrices symétriques positives et de fonctions définies à partir de leur déterminant.
Outils : théorème spectral, calcul différentiel, trace et critères de convexité. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Chaîne de Markov en temps continu.
Construction d’un modèle probabiliste, puis étude d’un endomorphisme autoadjoint associé.
L’analyse spectrale permet d’établir la convergence exponentielle des probabilités de transition vers une distribution indépendante de l’état initial. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Théorème de Perron-Frobenius pour une classe de matrices symétriques à coefficients positifs.
Étude du cas de taille deux, des normes sous-multiplicatives et du rayon spectral.
Application à un théorème de Ky Fan localisant les valeurs propres. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Identités combinatoires obtenues par les séries entières et étude de sommes doubles.
Exemples et contre-exemples d’interversion des sommations.
Applications aux probabilités conditionnelles et à une succession infinie de lancers de pile ou face. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Trois exercices indépendants : endomorphismes cycliques ; fonction dilogarithme ; modèle probabiliste d’un jeu de société.
Outils : réduction, polynômes, intégrales à paramètre, séries entières et calcul d’espérances. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices portant sur un endomorphisme vérifiant une relation polynomiale, des calculs d’intégrales et de sommes, les symétries orthogonales et une famille d’intégrales à paramètre.
Outils : diagonalisation, géométrie euclidienne, dérivation sous l’intégrale et séries entières. Concours commun E3A Pc - Convergence de la suite des puissances d’une matrice.
Étude d’exemples, puis recherche de conditions nécessaires et suffisantes à partir des valeurs propres et des sous-espaces caractéristiques.
Lorsque la suite converge, sa limite est décrite comme un projecteur. EPITA, option
Année 2024 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Comparaison de deux configurations de points à déplacement près.
Recherche de la rotation et de la translation minimisant la somme des carrés des distances.
Outils : barycentres, matrices orthogonales, valeurs singulières et optimisation de la trace. Polytechnique – ESPCI – ENS, mathématiques - Démonstration de l’inégalité de log-Sobolev pour la mesure gaussienne.
Étude d’une famille d’opérateurs définis par des intégrales, de leurs dérivées et de leur comportement asymptotique.
Outils : intégration par parties, dérivation sous l’intégrale et inégalité de Cauchy-Schwarz. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Matrices de distance euclidienne et problème spectral inverse.
Caractérisation de ces matrices, étude de leur spectre et construction de matrices ayant des valeurs propres prescrites.
Outils : matrices de Hadamard, endomorphismes symétriques et formes quadratiques. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Calcul de racines carrées de nombres et de matrices.
Comparaison des méthodes de Héron et de Newton, étude de leur convergence et programmation en Python.
Construction de racines carrées matricielles à l’aide du théorème spectral et de la décomposition de Jordan-Chevalley-Dunford. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Produits infinis : convergence, continuité et dérivabilité.
Étude du produit de Wallis, d’une application probabiliste et du développement du sinus en produit infini.
Applications à la fonction Gamma, à sa formule de réflexion et à une représentation par produit infini. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Trois exercices : racines cubiques de matrices ; caractérisation du logarithme de la fonction Gamma et formule de duplication ; temps d’attente avant une collision lors de tirages.
Outils : diagonalisation, interpolation polynomiale, convexité, intégrales et équivalents d’espérances. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices : endomorphismes sur un espace euclidien de polynômes ; transformations de variables de Poisson ; convergence d’intégrales impropres ; distance à un sous-espace polynomial.
Outils : réduction, probabilités, intégration par parties, séries et projection orthogonale. Concours commun E3A Pc - Transformation de Fourier.
Calcul de deux exemples, étude des premières propriétés et établissement d’une formule d’inversion.
Applications au calcul d’autres transformées.
Outils : intégrales impropres, intégrales à paramètre et échanges de limites et d’intégrales. EPITA, option
Année 2025 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Perturbations de rang un de matrices.
Étude de leurs effets sur l’inverse et sur les valeurs propres de matrices symétriques.
Outils : déterminants, trace, réduction et comparaison des spectres avant et après perturbation. Polytechnique – ESPCI – ENS, mathématiques - Caractérisation des matrices complexes semblables à leur inverse.
Étude des polynômes réciproques, du cas diagonalisable et des blocs de Jordan.
Le problème établit qu’une matrice inversible est semblable à son inverse si et seulement si elle est produit de deux matrices de symétries. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Séries alternées dont les dénominateurs suivent une progression arithmétique.
Représentation intégrale de leur somme et calcul dans plusieurs cas particuliers.
Applications probabilistes et étude de la vitesse de convergence à partir d’un équivalent du reste. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Principe d’incertitude d’Heisenberg et analogue matriciel.
Étude du laplacien d’une matrice, d’une région de faisabilité et d’une courbe d’incertitude.
Le problème aboutit à une formule explicite pour cette courbe dans un cas particulier. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Approximation des fonctions périodiques par des polynômes trigonométriques.
Étude du module de continuité et d’inégalités de dérivation.
Caractérisation des fonctions höldériennes par la vitesse de leur approximation uniforme. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Trois exercices : endomorphisme défini par multiplication matricielle à gauche ; polynômes de Hermite ; succession de tirages dans une urne dont la composition évolue.
Outils : réduction, polynômes orthogonaux, probabilités conditionnelles, produits infinis et séries. Concours commun INP, mathématiques - Quatre exercices : extrema d’une fonction sur un disque ; équation différentielle avec singularité en zéro ; diagonalisation d’une famille de matrices symétriques ; transformations de variables géométriques.
Outils : calcul différentiel, séries entières, réduction et indépendance de variables aléatoires. Concours commun E3A Pc
Année 2026 (énoncés et corrigés)
Survolez 💬 devant le titre pour une description.
- Modèles probabilistes de matériaux ferromagnétiques.
Étude de configurations d’aimants, de leur énergie et de la magnétisation.
Outils : convexité, sommes exponentielles et analyse asymptotique.
Le problème met en évidence une transition entre un régime sans magnétisation spontanée et un régime où elle apparaît. Polytechnique – ESPCI – ENS, mathématiques - Décomposition d’un endomorphisme en somme d’endomorphismes de carré nul.
Réduction, rôle de la trace et étude des sommes de trois ou quatre termes.
Les matrices de Hessenberg permettent d’établir qu’un endomorphisme complexe de trace nulle est somme de quatre endomorphismes de carré nul. Concours Mines-Ponts, maths 1 - Solutions périodiques d’équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients périodiques.
Étude du cas à coefficients constants, de conditions d’unicité et de l’existence de solutions périodiques.
Le problème relie également existence de solutions bornées et existence de solutions périodiques. Concours Mines-Ponts, maths 2 - Outils mathématiques liés à la découverte de Neptune.
Étude des trajectoires elliptiques, du mouvement de planètes en interaction et de la méthode de Le Verrier pour calculer les valeurs propres.
La dernière partie analyse les effets d’une perturbation sur une matrice d’ordre trois. Concours Centrale-Supélec, maths 1 - Introduction aux distributions sur la droite réelle.
Construction de fonctions tests, définition et dérivation des distributions, puis convergence de suites de distributions.
Application au théorème d’unicité de Cantor pour les séries trigonométriques. Concours Centrale-Supélec, maths 2 - Trois exercices : réduction de matrices par blocs ; sommes et autres transformations de variables géométriques ; équation différentielle faisant intervenir une valeur de la fonction en un autre point.
Outils : diagonalisation, équivalents d’espérances, séries entières et unicité des solutions. Concours commun INP, mathématiques - Trois exercices : propriétés spectrales d’endomorphismes et antisymétrie ; étude d’intégrales à paramètre et expressions faisant intervenir le logarithme ; extrema de la variance d’une variable prenant trois valeurs.
Outils : algèbre euclidienne, développements limités, intégration et optimisation sous contraintes. Concours commun E3A Pc